정보수학

더하기 빼기 곱하기 나누기 중에 가장 복잡하고 괴상한 것은 나눗셈이다. 0과 1로 정의한 상태값에서, 모든 계산들은 그 대칭성에서도 불구하고 단순한 반복으로 귀결된다. 그 후에는 단순한 상태로 전이된다. 더하기와 빼기는 사실상 동일하다. 더하기는 물론 반복이며, 빼기는 반대 방향을 계속 반복해나가는 것에 불과하다. 곱하기는 일정한 더하기를 다시 한번 반복한다. 반복을 반복하면 된다. 그런데 이 나눗셈은 나누어 떨어지는 수에서는 일종의 뺄셈의 반복처럼 느껴지겠지만 그 본질은 전혀 그렇지 않다. 이쯤에서 다시 이 숫자라는게 무엇인지 곱씹을 필요가 있다. 어떤 상태를 나타내는 이 숫자란 무엇일까? 가장 기본적으로 숫자들 간에는 같거나 다름으로 평가될 수 있지만, 연산 상에서의 어떤 위치를 지니는 것이 특징이다..

대칭을 통한 연산 체계의 정리를 통해서, 혹은 튜링의 튜링머신에 의해서, 기계적인 연산 체계는 상태와 그 전환으로 분류할 수 있다고 언급했었다. 칸토어는 무한의 대한 전개를 자연수(가산무한)에서 확장하여 초한수로 넓혀 나갔다. 이는 상기 제안했던 연산 체계에서는 '상태'라고 이야기해볼 수 있다. 즉 상태들의 묶음이며 이를 자연수라고 하면, 이 자연수와 1:1로 대응하는지의 여부나 다양한 논리 전개를 통해 무한의 등급을 나누었다고 볼 수 있다. 그런데 그의 무한의 분류에서도 "상태 전환"이 차용된다. 자연수는 1에서 시작해서 계속 1을 더해나가는 과정을 통해 전체 자연수 상태를 모두 방문할 수 있다. 그리고 이 과정과 1:1로 대응하면, 예를 들면 짝수의 상태를 방문할 수 있게 되면 그 무한이 동치라는 것..

대칭으로 수 체계를 바라보는 방법을 소개했었다. https://infomath.tistory.com/5 이 체계를 도입하려고 하는 이유는 수 체계를 새롭게 해석해서 여러가지 기존에 막연한 논리들을 다른 관점에서 검토해보고 싶었기 때문이다. 그 첫번째 질문은 소수라는 것은 무엇인가에 대한 것이다. 결론부터 이야기하면 소수는, 이 대칭 체계에서, 1이 아닌 수를 동일 반복해서 계산해도, 즉 곱셈으로 값을 증가시켜도, 도달할 수 없는 수 들의 집합이다. 에라토스테네스의 체와 동치이다. 이 설명에는 대칭 체계에서의 덧셈을 확장한 반복 연산과 비교만으로 확인할 수 있는데, 흥미로운 것은 특정 숫자의 소수 여부를 판정하기 위해서는 처음 2부터 정직하게 확대하면서 계산하는 것 외에는 방법이 없다는 사실이다. 특히나 ..