대칭의 수 체계로 바라본 소수, 무리수, 초월수

 대칭으로 수 체계를 바라보는 방법을 소개했었다.

https://infomath.tistory.com/5

 

 이 체계를 도입하려고 하는 이유는 수 체계를 새롭게 해석해서 여러가지 기존에 막연한 논리들을 다른 관점에서 검토해보고 싶었기 때문이다.

 

 그 첫번째 질문은 소수라는 것은 무엇인가에 대한 것이다.

 

 결론부터 이야기하면 소수는, 이 대칭 체계에서, 1이 아닌 수를 동일 반복해서 계산해도, 즉 곱셈으로 값을 증가시켜도, 도달할 수 없는 수 들의 집합이다. 에라토스테네스의 체와 동치이다.

 이 설명에는 대칭 체계에서의 덧셈을 확장한 반복 연산과 비교만으로 확인할 수 있는데, 흥미로운 것은 특정 숫자의 소수 여부를 판정하기 위해서는 처음 2부터 정직하게 확대하면서 계산하는 것 외에는 방법이 없다는 사실이다. 특히나 모든 소수 집합을 구하기 위해서는 모든 수들을 무한번 반복하면서 체로 거르는 작업이 필요하다. 아니면 역시 2부터 해당 숫자에 이르기까지 나눠가면서 확인해야 한다(사실은 sqrt(숫자)만큼 확인만 해도 되지만)

 

 다만 특징은 소수는 -1,0,1로 시작해서 확장한 자연수 안에서 존재한다는 점인데, 이를 언급하는 이유는 무리수에서는 좀 다른 양상을 보이기 때문이다.

 

 역시 -1,0,1 등으로 시작하는 대칭 연산에서 무리수로 가기 위해서는 연산을 반복해야 하는데, 무한번의 연산밖에 방법이 없다. 아이러니 하게도 그 상태에 다다르기 위해서는 기본 연산만을 응용한다고 하면, 영원히 계산해야 한다. 예를 들어 가장 간단한 무리수(?)인 sqrt(2)를 판정해보면 결국 곱해서 2를 갖는 값이며, 이 값을 구하기 위해서 우리는 무한히 계산을 이어나가는 수 밖에 없다. 즉 무리수는 유리수를 가지고 무한히 연산하지 않고서는 도달할 수 없는 값이다. 그런데 무한의 계산 과정을 상정하면 존재하는 값이다. 신비한 일이 아닐 수 없다. 그렇게 무한의 계산을 해야만 알 수 있는 값인데, 그렇게 하지 않고도 우리는 그 값을 알 수 있고 다룰 수 있다. 그런데 다만 계산으로 갈 수 있는 방법은 없고, 그냥 곱해서 2가 되는 수라고 정의하는 수 밖에 없다.

 

 그러면 초월수란 무엇일까? 그것은 무리수를 가지고 무한히 연산해야만 나오는 값이 아닐까? 초월수는 다항식의 방정식이 갖을 수 없는 해이다. 대표적인 값이 pi나 자연상수 e이며, 이 숫자들은 대부분 무한급수로 나타내어 진다. 그리고 칸토어의 수집합 중에서 알레프0이 자연수, 알레프1이 실수, 좀 성급하게는 알레프2가 바로 초월수(곡선들, pi로 구해지는 값들)가 아닌가.

 

 그러면 그 초월수를 무한히 계산해야 얻을 수 있는 수가 알레프3인 것은 아닌가?

 

 그래서 기계적인 연산 체계에서 이 수들을 이렇게 바라볼 수 있지 않을까 메모한다. 무리수, 초월수, 소수 등 새로운 수의 상태가 창조되기 위해서는 늘 무한의 계산이 결합되어야 하는 것으로 보인다. 더 구체화하고 공부해보자.