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대칭이란 무엇인가? 어떻게 수학 계산 체계로 확장 정의해볼 수 있겠는가? -1+1=0 보이기 본문
데모크리토스가 물질의 최소 단위를 원자로 가정하면서 멋진 것은 그것이 가장 단순한 형태이고 모든 것이 그것에서 시작하기 때문이다. 그러나 수 체계에 그러한 일을 하고자, 대칭을 가장 최소한으로 정의하려고 하면 그것이 생각보다 쉽지 않다는 것을 알 수 있다. 그래서 대칭은 대개 예시로서 정의된다. 우리도 우선은 대칭의 예시를 살펴보자.
모두에게 가장 익숙한 것은 원점이 0인 점에서의 -1과 +1이다. 거울대칭이나 회전 대칭 등 여러가지가 있으나 여기서는 일종의 거울대칭을 상정해보자.
이러한 3가지의 -1, 0, +1이 대칭을 이루는 중요 요소이다. 그러면 이제 이 존재들을 가장 단순한 용어로 정의해보자.(미리 밝히면 A=-1, C=0, B=+1에 각각 예시로 대응된다.)
"어떤 서로 다른 A와 B가 존재하는데, f(A) = B 인 변환(혹은 계산) f가 존재하고, f(B) = A 도 만족할 때 이 둘은 대칭이다."
즉,
1) A != B 이고,
2) 어떤 변환 f에 대해 f(A) = B 이면서 f(B) = A 를 만족하면 대칭이라 한다. 그리고 해당 변환 f를 이 대칭의 대칭변환이라고 하자.
그리고 이 변환 f에 대해,
3) f(C) = C를 만족하는 존재 C를 "대칭의 중심"이라고 정의한다.
그리고 부가하여,
4) C를 A로 바꾸는 변환을 "더하기A" 즉 +A 라고 정의하며, C에서 B로의 변환을 "더하기B"즉 +B라고 정의한다.
A에서 C로의 변환을 "빼기A" 즉 -A라고 정의하며, B에서 C로의 변환을 "빼기B"즉 -B라고 정의한다.
그러면 +A-A를 연달아서 변환하면, C가 되고 이를 기호로 "+A-A" 식으로 연달아 표기한다.
정의에 의해 +A-A=C이고, +B-B=C이다.
5) 그리고 이러한 변환을 편의상 계산이라고 표현하며, 특정 상태를 어떤 상태로 변환하는 것을 의미하며,
A+B라고 하면 +A+B 즉 C에서 A로 변환하고, C에서 B로의 변환을 그대로 재적용하는 연속 변환을 의미한다.
이를 간단히 도식화 해보면 아래와 같다.
1)~5)를 통해 가장 근원적인 대칭의 3가지 존재(상태)와 더하기,빼기를 정의하였다. f가 어떤 성격을 만족하는 변환이라던가 등의 가정이 필요하겠지만, 이 틀하에서 정의를 다듬을 수 있을 것이라 믿는다.
즉, 대칭은 특정 상태와 변환이 어떤 조건을 만족하는 형태이며, 그 성질은 위 초기 예시 상의 -1,0,+1의 상태들이 보여주는 성질을 닮았으며 정의는 위 1~5를 통해서 계산 수준까지 진행해볼 수 있다. 이 과정에서 흥미로운 두가지 사실이 있는데, 첫번째는 대칭의 근원에는 '변환' 즉, 계산이 숨어있다는 사실이다. 그리고 두번째는 대칭이란 이 변환과 상태가 서로 어떤 특별한 조건을 이루는 관계에 대한 이야기라는 점이다.
그러면 왜 더하기와 빼기가 필요할까? 여기서는 이 기본적인 대칭관계들의 가장 최소한의 변환을 다루는 기호라는 점이다. 맨 처음 f라는 최초의 변환이 주어지고, 대칭의 중심 C가 정의되면 각각의 상태 전환, 즉 최초 C->A, C->B에 대한 변환 정의가 필요하고, 이것이 바로 더하기, 그리고 그 역 변환이 빼기가 된다. 이것으로 이 상태 전환의 기계가 단순한 모습으로 정리된다.
그리고 이제 이 전환 과정을 더 보편적으로 만들기 위해서의 핵심은 -A와 +B, +A와 -B변환이 같다는 것을 입증하는 일이다. 이 몇 개 되지 않은 상태 변화들이 과연 얼마나 복잡할까 생각할 수 있으나, 연속 변화를 생각해보면, +A+B같은 것을 기술하는 것이 어렵다는 것을 금방 알게 된다. (즉 -1+1=0을 단순하게 보여주는 일 말이다) 직접 해보면 그것을 복잡하게 그릴 수 밖에 없다는 것을 알 수 있다. 그런데 위 제시된 변환 동일성이 증명되면, 이 계산체계의 모든 경우의 수가 훨씬 단순화되어 기술될 수 있다. 그리고 이 증명은 간단하게 f가 A->B 및 B->A를 변환하는 동일 변환이라는 대칭의 성질로 증명된다. 아래를 살펴보자.
증명대상) +A = -B, -A = +B 의 동일 변환일까? (시작점과 종료점이 다름에도 불구하고)
앞의 1~5의 정의에 의해(상기 관계 그래프 참조)
+A = +B & f (+B와 f의 연속 변환).... a)
-A = f & -B ...................................... b)
+B = +A & f .................................... c)
-B = f & -A...................................... d)
이고, 각각 변환을 대체하여 기술하면
a), c)에 의해 +A = +B & f = +A &f &f = +A (&f&f는 정의에 의해 제자리 변환이다)
b), d)에 의해 -A = f & -B = f & f & -A = -A (&f&f는 정의에 의해 제자리 변환이다)
이므로 늘 성립한다는 것을 보일 수 있다. (조금더 엄밀하게 따지자면 각 변환의 맨 처음 상태가 모두 동일해야 하는데, 처음 표기상에서 이를 일치시켜도 역시 만족한다.)
이제 우리는 -1, 0, 1 에 대응되는 A,C,B의 세가지 상태의 변화를 가장 단순하게 완결되어 나타낼 수 있는 체계를 만들었다. 이 체계의 장점은 단순함인데, A,B,C사이의 연속 변환을 단순한 기호로 대부분 즉각 나타낼 수 있다는 점이다.
그리고 사실은 이 변환중에 아직 이 체계 안에서 헷갈릴 수 있는 부분이 있다. 바로 +A+A나 -B-B같은 변환이다. 이 상태는 과연 어디에 존재하는가? 그러나 생각보다 쉽게 이 것들이 확장된다는 것을 알 수 있다. 그저 이것을 +A 변환의 반복된 어떤 상태라고 처리하면, 그것이 어딘지 모르지만, 뻗어나가면서, +A나 -B변환 등에 의해 C로 돌아올 수 있는 체계가 완성된다.
따라서 우리의 숫자 계산은, 이렇게 최초의 2개 존재의 거울대칭에서 탄생시켜, 중점과 상태의 변환들을 정의하고, 각 상태와 변환을 정의하는 체계 상에서 가장 단순하게 형식 체계를 구축할 수 있다. 모든 상태에서 상태를 나타내지 않아도 축약해서 표현이 가능하다(예컨데 모든 반복A와 C, 반복B들의 상호 변환) 그리고 이 체계하에서 모든 다른 곱셈과 나눗셈, 지수, 로그 등의 변환이나 유리수, 무리수 등으로 확장될 수 있다.
그리고 +A+A와 같은 변환에서 통상 맨앞의 +A는 A로 약식 표현하자(모든 것은 C에서 출발한다고 고정하고) 그러면 +A+A = A+A와 같은 형태로 표현될 수 있다. 이것은 1+1같은 현대의 사칙연산체계와 기본적으로 동일하다. 1+1-1+1+1 등은 이렇게 연속해서 상태가 변화하는 전이 과정의 연속이라고 곧바로 computation과 동일시 할 수 있다. 그리고 지금까지 정의하고 증명한 체계를(1)~5)) 제1형 수학 연산 형식 체계라고 정의해보자.
기타로 재미있는 것은 대칭 변환 f가 바로, -1,0,1의 수에서는, 음수의 곱으로 정의될 수 있다는 점이다. 혹은 원점으로 갔다가, 다시 한번 같은 방향으로 원점에서 더 멀어지는 변환이라고 표현할 수도 있다. 그리고 이러한 모든 관계는 위에서 기술한 것과 동일하다. 상태와 변환의 관계로 대칭이 기술되며 이것으로 무한한 다양한 상태들에 대해서 훨씬 더 단순하게 그 상태와 변환을 기술할 수 있다. 대칭의 힘이다.