정보수학

기적같은 일이다. 나는 지금 당신과 "글" 또는 "책"이라는 매개체를 통해 이야기를 나누고 있다. 이렇게 대화를 나누는 방식이 수백 년 동안 발전해 왔기에, 이제는 그다지 놀랍지 않게 느껴질 수 있다. 하지만 그렇다고 해서 평범하다고 말할 수는 없다. 이 방식은 여전히 경이롭고 특별하다.  많은 탐구자들이 자신이 아는 바를 글로 남겨, 다른 이들에게 전해왔다. 이 과정은 직접 만나서 대화하는 것보다 오히려 더 깊은 지식과 생각을 나눌 수 있는 기회를 제공하기도 했다. 나 역시 이 방식으로 당신과 이야기를 나눠보고 싶다. 우리가 다룰 주제가 매우 흥미롭다고 믿기 때문이다. 바로, "정교하게 작동하는 우주와 세상"에 대한 이야기다. 어떻게 이 놀랍도록 규칙적인 세상을 이해하고 풀어나갈 수 있을까?  이런 의..

소프트웨어 개발은 기계적인 절차를 다룬다. 즉 Universal Turing Machine과 동치인 이 컴퓨터에 대해 그 작동 메카니즘을 실제로 활용해서 반영하고, 그 과정을 수없이 반복함으로써 체득하는 과정이다.  그것은 수학적 증명의 절차를 따라가는 것과 유사하기도 하며, 계산 절차를 진행하는 것을 관리 감독하는 것과 같다. 그리고 여러가지 관점에서 소프트웨어 개발은 수학적 사고와 매우 깊은 연관이 있다고 생각한다.  기존 글에서 필자는 수 계산의 본질이 상태와 전환이라는, 즉 어떤 저장값과 그 저장값을 바꾸는 과정이라고 주장했다. 그리고 그 주장은 소프트웨어도 마찬가지다. 다만, 수는 대칭 체계에 기반하여 이 상태/전환을 설계하여 숫자화하고 이용하고 있고, 소프트웨어는 이 수학 체계를 그대로 이어 ..

칸토어의 무한에 대한 탐구 덕에, 우리는 무한한 시간을 쏟지 않고도, 무한한 상태에 대해 무한번 비교하지 않고도 어떤 현상이 벌어질지 이해하게 되었다. (즉 1:1 대응 같은 작업을 통해) 기적과 같은 일이다. 사실은 비슷한 일이 또 있다. 이를테면 소수의 개수가 무한한가 라는 질문에 대해서도, 무한번 해보지 않고도 적절한 방법을 통해 증명을 할 수 있다. 유클리드는 이미 그런 선물을 우리에게 준 셈이다. 아무리 노력해도 정말 무한번 해야만 할 수 있는 일들이 있는데, 그 중 일부를 칸토어가해결한 셈이다. 무한번 실제 하지 않고도 말이다. 또다른 이야기를 위해 예를 들어보자. 1 = 0.99999..(무한번) 라고 하는데, 정말 그럴까? 이 질문은 간단하게는 두가지를 함의한다. 첫번째로 만약에 0.99..