랜덤과 무질서, 상태와 상태변환의 대칭성, 수체계는 어떤 관계를 지닐까? 자연의 가장 무질서한 상태에서의 진화를 통해 이해해보자.

 수학이 기술할 수 있는, 세상의 가장 무분별한 상태는 어떻게 정의할 수 있을까? 그러니까 법칙이 없는 자연이 갖을 수 있는 가장 무질서한 상태와 일치하는 개념이다.

 

 우리의 자연은 어떤 법칙하에 움직이고 있고, 어떤 상태와 그 변환으로 기술할 수 있다고 주장한 적이 있다. 따라서 1+1=2라는 것은, 1의 상태에서 +1이라는 변환을 통해 상태 2로 전환된 셈이라고 주장했다(대칭으로 구성한 수 체계 안에서, https://infomath.tistory.com/5).

 

 그런데 이러한 대칭 체계 이전에는 어떻게 기술되었을 것인가에 대한 질문이다.

 

1) 생각해보면 그렇게 어렵지 않은데, 바로 무한한 상태들의 집합과 그 상태들간의 랜덤 변환이다. 각각의 상태에는 고유의 이름이 붙어있고, 상태에서 상태로의 모든 변환 경로가 존재하며, 그 경로들은 랜덤하게 선택된다. 그리고 상태는 기억되지 않는다. 자연이 만약 이런 모습이었다면 흥미롭게도 무질서의 극치였을 것이다. 어떤 법칙도 존재하지 않는다. 변환이 일어나고 있지만 그것은 랜덤의 세계이며 결국에는 어떠한 법칙도 없고 랜덤하다는 것 외에는 의미를 부여할 수가 없다.

 

2) 두번째는 상태가 기억되는 경우다. 이런 경우는 시간이 탄생하게 된다. 이전 상태와 다음 상태가 그 상태간의 변환에 의해서 "이어지기" 때문에, 그 순서를 근거로 시간이 탄생하게 되는 셈이다. 다만 여전히 변환은 법칙이 없이 랜덤으로 이루어진다. 재미있는 것은 상태가 무한하기 때문에 다시 그 자리로 돌아오지도 않는다. 영원한 무한의 세상이 영원히 변화된다. 사실 변환에 법칙이 있어야만 이 기억이 의미를 갖는다. 그래서 결국 3번으로 넘어가야만 의미를 갖고 오히려 3번하에서만 기억, 즉 이어짐이 가치를 지닌다.

 

3) 세번째 상태는 변환에 규칙이 있는 경우다. 이 경우는 그 상태의 역변환이 가능하게 된다. 최소한 특정 확률로 변환의 범위를 축소할 수 있다. 어느 정도 수준으로 예측이 가능해지는 경우다.

 

 대칭으로 이러한 상태와 변환이 정리되면, 각 상태별로 고유한 이름을 갖던 것이 숫자라는 체계로 바뀌면서 단순하게 기술할 수 있게 된다. 즉 무한의 상태와 무한의 변환이, 유한해 보이는 상태(규칙이 있으므로)와 변환(역시 유형화되어 있으므로)으로 제한되게 구성하고 이를 통해 계산/예측을 할 수 있다.

 우리는 2진수로 모든 상태에 정리된 이름을 붙일 수가 있으며, 순방향과 역방향으로 변환을 재구성하도록 변환에도 패턴을 부여할 수 있게 된다. 더하기, 빼고, 곱하기, 나누기 등으로 일정한 패턴을 부여하게 된다.

 

 즉, 대칭으로 정리한 수 체계는 변환의 반복과 역과정에서도 추적이 가능한 단순한 기술 방법이라고 설명해볼 수 있다. 그것은 어떤 동일 유형의 반복들을 쉽게 기술할 수 있는 도구라고 평가할 수 있다. 세상이 만약에 랜덤하게 상태 변화가 되었더라면 대칭같은 것은 필요하지 않았을 것이다. 단순화할 필요가 없었기 때문이다.

 

 따라서 랜덤과 무질서, 상태와 상태변환에 대한 대칭성은 위와 같이 관계를 갖게 된다고 평가할 수 있다.