무리수는 무한위에 쌓은 수

 

칸토어가 자연수와 양의 유리수가 본질적으로 같은 무한이라는 것을 증명했다. 소위 셀 수 있는(countable) 무한이다. 그런데 이 증명을 들먹이지 않아도 사실, 조금더 보편적으로 바꿔서 정수와 유리수는 이름만 다른 비슷한 수 체계라는 것을 간단히 알 수 있다.

 

예를 들면 모든 유리수 계산은 분수를 통한 계산이고 그저 공통 분모를 곱하는 것 만으로도 정수 계산으로 환원된다. 그저 유리수에 분모를 곱하기만 하면 바로 정수로 바뀐다. 숫자라는 것이 단순히 같고 다름을 나타내는 주소 같은, 이름 같은 것이라고 본다면 그저 이름이 다르게 붙는 같은 수라는 것을 쉽게 알 수 있다. (조금더 덧붙이면 그냥 수가 늘어나는 무한을 가지고 특정 수 구간을 무한화 시킬 수 있다)

 

그런 점에서 난감한 것은 무리수이다. 이 녀석은 정수 체계에서는 단순히 사칙연산만으로 얻어내기가 어렵다. 우리가 무리수를 처음부터 배워서 그렇지, 피타고라스 학파가 당혹스러워한 것과 동일하게 무리수라는 것을 처음 만났더라면, 상당히 난감한 수라는 것을 알 수 있다.

 

 조금 더 파내려가보자. 우리가 무리수를 어떻게 감지할 수 있느냐면 y=x^2 이라는 그래프를 따라가다보면 만날 수 있다. 혹은 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이에서도 만날 수 있다. 어떤 수를 제곱해서 2가 되는 수, 즉 sqrt(2), 루트2가 무리수의 대표적인 예이다.

 

 조금더 기계적으로 설명해보면, 제곱을 해서 2가 되는 수를 찾아가다보면 무한히 어떤 작은 수를 추적해 들어가게 된다. 그러다보면 순환하지 않는 소수(floating number)를 만나게 되고, 아무리 작게 만들어도 끝이 없는 반복되지 않게 이어지는 수를 만나게 되는 것이다.

 

 노파심에서 이야기하면 순환하는 소수(floating number)는 유리수로 환원이 가능하다. 0.33333... 은 1/3인 분수이고, 무한히 이어지는 저 3이 마음에 들지 않으면 진법을 바꾸면 된다. 3진법으로 바꾸면 0.1이 바로 위 십진수의 0.3333...과 같다. 그리고 무리수는 참고로 어떤 진법으로 바꾸어도 순환하지 않는 소수가 된다. 그도 그럴것이 규칙도 없이 끝나지 않는 소수이기 때문에 그렇다.

 

 또다른 설명을 해보자면 지금 우리가 위에서 다룬 무리수는 소수(prime number)와 연관이 있다. 소수의 제곱근이 무리수이기 때문이다. 소수의 정의 자체가 1과 자기 자신외에는 나누어 지지 않는 수이기 때문에 이런저런 사실을 이용하면 모든 소수의 제곱근이 무리수라는 것을 증명할 수 있다(이건 한번 시도해보자). 그리고 더 재미있는 것은 제곱근 만이 아니라 세제곱근, 네제곱근 모두 무리수이다. 즉 모든 소수의 모든 어떤 제곱근도 무리수이다. 신기하지 않는가?

 

 사실 본인이 주장했던 대칭의 수 체계에서는 어떤 수가 순환하지 않는 소수(floating number)이냐 아니냐는 중요하지 않다. 같은가 다른가가 훨씬 더 중요하다. 무리수는 이렇게 곱하기 연산과 연관되어 소수가 끼어들면 나타나는 경우가 기본이 되는 것이다. 그 어떤 경우에도 생기지 않는 특이한 수 패턴이 두번 곱했을때 소수(prime number)가 되는 수를 찾으려면 무한의 소수(floating number)가 생겨나게 된다. 확실히 소수(prime number)가 곱하기의 원자같은 역할을 하는 수이기 때문이라고 이야기할 수 있겠다.

 

 초월수는 그래서 더 신기하다. 초월수는 아예 대수적으로 구할 수 없다. 대개 무한 수열로 나타내고, 어떤 성질을 지닌 수를 찾다보면 그게 초월수라는 것을 알아내는게 일반적이다. 위처럼 소수의 제곱근이 무리수다 같은 일반적인 법칙조차도 없는 상황이다.

 

 그래서 대칭의 수체계에서 무한을 탐구해보면 어떨까라는 희망이 생기게 된다. 수 하나는 단지 특정 상태에서 다다른 또다른 상태를 나타내는 단순화된 이름에 불과하다. 이 틀을 확장해보면 이 대칭의 숫자체계가 어떤 특성을 갖는지 더 보편적으로 살펴볼 수 있지 않을까. 그래서 여기서 소수(prime number)란 무엇인지 무한이란 무엇인지 더 확실하고 보편적으로 이해할 수 있지 않을까?

 

 하나 더 신기한 것은 자연은 무리수를 끝까지 구하는 것 같지 않다는 점이다. 플랑크 길이나 플랑크 시간 이하의 수치는 물리적으로 의미가 없다. 자연이 무한의 무리수를 정확하게 알아야만 그 다음 상태를 규정하는 것 같지 않다. 물론 그것을 꼭 수치화 하지 않고 단순히 하나의 상태라는 이름만 중요하게(예를 들면 3.141592...보다는 pi라는 이름으로 불리듯이) 될 수도 있으나 어떤 계산을 이어가기 위해서는 무리수는 여하튼 변환할 때 무한히 긴 무언가를 처리해야 하지 않는가.

 

 그래서 자연과 수학이 어떻게 매핑되는 관계를 가지는지도 같이 고민해볼 수 있다.