사칙 연산에서 가장 괴상한 연산인 나눗셈

더하기 빼기 곱하기 나누기 중에 가장 복잡하고 괴상한 것은 나눗셈이다.

 

0과 1로 정의한 상태값에서, 모든 계산들은 그 대칭성에서도 불구하고 단순한 반복으로 귀결된다. 그 후에는 단순한 상태로 전이된다. 더하기와 빼기는 사실상 동일하다. 더하기는 물론 반복이며, 빼기는 반대 방향을 계속 반복해나가는 것에 불과하다. 곱하기는 일정한 더하기를 다시 한번 반복한다. 반복을 반복하면 된다.

 

 그런데 이 나눗셈은 나누어 떨어지는 수에서는 일종의 뺄셈의 반복처럼 느껴지겠지만 그 본질은 전혀 그렇지 않다.

 

 

 이쯤에서 다시 이 숫자라는게 무엇인지 곱씹을 필요가 있다. 어떤 상태를 나타내는 이 숫자란 무엇일까? 가장 기본적으로 숫자들 간에는 같거나 다름으로 평가될 수 있지만, 연산 상에서의 어떤 위치를 지니는 것이 특징이다. 이 숫자들은 대칭체계에서의 여러가지 변환이나 상대적인 거리들이 모두 만족되게 일관되게 위치를 유지해야 한다. 몇을 더해서 간 위치에서 동일한 수를 뺄셈하면 제자리로 돌아오도록 그 위치가 정해져야 하는 것이다.

 

 대칭 연산 체계에서 모든 종류의 연산에 대해 일관성을 지키기 위해 그 위치들의 관계가 규정되고, 따라서 새로운 위치는 그 연산들의 성격에 따라 정의된다. 그리고 이는 최초의 0과 1, -1과의 관계에서 파생된다.

 

 그렇게 0과 1을 통해서는 모두 정수로만 상태가 확장되는데, 반복의 반복이라는 곱셈이 정의되면 그 역연산인 나눗셈은 이 체계를 미궁에 빠지게 만든다. 유리수가 탄생하기 때문이다.

 

 이를테면 1을 3으로 나누어 보자. 이 숫자는 표기법으로는 1/3으로 곧바로 나타낼 수 있지만, 십진수 체계하에서는 0.3333...으로 묘사된다. 그리고 이 수는 3번을 반복해서 더하면 1이 되는 수이다. 그리고 이 값의 문제점은 실제로 값을 특정하려면 무한의 연산과정이 필요하다는 점이다. 10진수로 상태를 표현하기 위해서는 무한한 메모리가 필요하기도 하다. 물론 다른 방법도 있다. 분수처럼 2개의 정수로 이 유리수를 나타낼 수 있다. 그러면 신기하게 무한의 메모리도 필요하지 않고 유한한 시간안에 값을 특정할 수도 있다.

 

 이 부분도 이해를 잘 하지 못한 상태에서는 신비롭다. 왜 특정한 숫자가 어떤 때는 무한히 연산해도 그 값을 특정할 수 없는데 어떤 형식에는 그럴 필요가 없는가? 무한과 유한이 왜 이렇게 가까이 위치하는가? 그리고 1/3과 0.33333..이 같은데 이런 다른 표기법을 높은 추상화 수준에서는 어떻게 받아들여야 하는가?

 

 1) 해당 고유의 값에 대한 표기는 사실상 특별한 의미가 없다. 대칭상에서의 상대적인 일관된 위치만 특정되면 그만이다.

 2-1) 즉, 자연에는 수체계가 있을리 만무하기 때문에, 사실은 표기법에 관해 말하자면, 그것이 무엇이든 상관이 없다. 

 2-2) 그래도 대칭체계상의 숫자들은 서로간의 상대적 거리에 대한 규칙이 존재한다.

 

결국 1)과 2)는 같은 설명이다. 즉 나눗셈이 헷갈리게 하지만, 유리수 개념하에서는 그다지 바뀌는게 없다. 정수나 유리수가 가산 무한인 이유라고 보인다.

 

오히려 그렇게 되면 제곱과 그역연산이 더 특이한 연산이 되겠다.