무한의 분류

 대칭을 통한 연산 체계의 정리를 통해서, 혹은 튜링의 튜링머신에 의해서, 기계적인 연산 체계는 상태와 그 전환으로 분류할 수 있다고 언급했었다.

 

 칸토어는 무한의 대한 전개를 자연수(가산무한)에서 확장하여 초한수로 넓혀 나갔다. 이는 상기 제안했던 연산 체계에서는 '상태'라고 이야기해볼 수 있다. 즉 상태들의 묶음이며 이를 자연수라고 하면, 이 자연수와 1:1로 대응하는지의 여부나 다양한 논리 전개를 통해 무한의 등급을 나누었다고 볼 수 있다.

 

 그런데 그의 무한의 분류에서도 "상태 전환"이 차용된다. 자연수는 1에서 시작해서 계속 1을 더해나가는 과정을 통해 전체 자연수 상태를 모두 방문할 수 있다. 그리고 이 과정과 1:1로 대응하면, 예를 들면 짝수의 상태를 방문할 수 있게 되면 그 무한이 동치라는 것을 증명하는 형태로 구성한 것이다. 그런데 이 글에서는 상태의 집합 보다는 그 전환에 더 초점을 맞추어 보자.

 

 무한은 무한소, 무한대, 무리수 등 다양한 개념들이 혼재한다. 무언가 "끝없는 반복"이 등장하며, 끝이 나지 않는다. 따라서 여기서는 무한을 그 상태 전이의 과정과 일치 여부로 분할할 수 있다고 주장하려고 한다.

 

 1. 1에서 시작해서 무한히 큰 자연수를 논의하기 위해서는 특정 연산을 반복하는 일련의 과정을 상정해야 한다. 이는 컴퓨터 코드로 쉽게 나타낼 수 있으며 무한의 시간동안 실행하면 그 값을 늘려서 도달시킬 수 있다. 물론 이 과정은 끝나지 않기 때문에 이 실행이 끝없이 반복된다는 상태를 가정함으로써 그 수를 특정할 수 있다. 이는 커지는 상태로 표현하는 무한의 개념과 같다.

 

 당연히 그 값은 묘사할 수 없다. 하지만 그 일련의 과정과 어떤 다른 무한의 계산 과정이 동일한 특성을 가지는지는 비교할 수 있다. 칸토어의 논리와 같다. 그 값의 증가 양상이나 수렴 양상 등은 알 수 있게 된다.

 

2. 1의 관점의 특정 값에 수렴하는 숫자를 계산하는 순열 계산은 무한과 동일하며, 그 순열 계산이 어떤 값으로 수렴하는지에 대한 전망을 통해 동일 값 여부를 특정할 수 있다. 그리고 그것이 실제로 같다는 것도 알 수 있다. 칸토어는 집합으로, 즉 상태들의 집합으로 무한을 이해했지만, 그것보다는 상태의 전환이라는 것으로 무한을 이해할 수 있게 되는 것이다.

 

 따라서 이를 위해서는 상태의 전환이라는 것을 구별하여 유형화할 필요가 있다. 그런데 전환은 사실은 상태와 매우 밀접한 관계가 있기는 하다. 일정한 법칙 하에서는 상태는 전환을 통해 다다르기 때문이다.

 

3. 신비한 것은 특정 값으로 수렴시킬 때의 무한과 유한의 동치성에 대한 부분이다.

 

 1에서 sqrt(2)를 계산하는 과정은 무한한 과정을 필요로 하지만, 간단한 변환을 통해(y=sqrt(2)*x) 갑자기 sqrt(2)는 유한한 계산으로 도달가능하고 1은 그렇지 않게 되어버리는 현상이 존재한다는 뜻이다. 관점이 바뀌면 무한번 계산하여 접근해야하는 상태가 그렇지 않은 것으로 바뀐다. 그러나, 사실은 sqrt(2)를 곱해야 하므로, 역시 무한의 계산이 섞여 들어가야하는 점에서는 같다.

 

 무한의 덧셈이 무한의 값을 가지는 것과 무한의 덧셈이 유한한 값에 수렴하는 것도 특이하다. 가장 유명한 것이 아래 제곱유리수의 합이다.

 

 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

 

 이 값은 1로 수렴한다. 영원히 반복해야만 이 값에 다다를 수 있는데 결국은 1로 수렴하게 된다. 이 와 다른 것은 바로 아래와 같은 과정이다.

 

 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...  = 1 or 0이다.

 

 이 값은 수렴되지 않는다. 심지어

 

S = 1 -1 + 1 -1 + 1 - .. 

S  = 1 - S

따라서 S = 1/2

 

와 같이 계산되어 나오기도 한다. 어떤 값이 어디에 수렴하는지, 반복적인 계산이 없이도 대수적으로 구하는 방법이 있는데, 그 방법이 위와 같이 오류를 내기도 한다. 이렇게 일반적인 기계적인 연산으로는 구할 수 없는 무한의 값을, 대수적인 방법으로 구할 수 있다는 사실도 신기하다. 무한이 유한으로 변환되는 형상이기 때문이다.

 

 

 

이렇게 계산의 반복과 그 유사성으로 무한을 구분하면 장점과 단점은 무엇이며, 또 어떤 틀로 정확히 정의할 수 있겠는가? 일반적인 수학이 아니라 논리가 필요한 것이 특이하다. 이 과정은 그래서 프로그래밍에 대한 해석을 닮았다.

 

4. 가산무한과 비가산무한은 어떻게 다른가?

 

 상태로서의 정수와 무리수는, 두 정수는 단순히 기본 대칭 연산의 유한한 반복만으로 상태에 도달할 수 있으나, 비가산무한(예를 들어 무리수)은 무한의 반복만으로 도달 가능하다. 같은 수직선 상에서의 이동인데 이렇게 다른 특성이라는 것이 흥미롭다. 전환의 관점에서는 이 두가지를 어떻게 구분하고 유형화 할 수 있을까? 

 

계속 정리해나가보자. 집합론을 탄생시키듯이 이 전환의 무한에서는 어떤 도구가 필요할까? 아니면 집합론으로 그대로 묘사가 가능한가? 동치인가?