상태와 변환, 랜덤, 대칭과 수체계의 관계 중간 정리

1. 가상으로, 자연이 가질 수 있는 가장 무질서한 모습의 체계는, 무한히 많은 고유 상태와 그 상태간의 전환으로 구성되고, 그것들간의 전환이 랜덤으로 이루어지는 모습이다. 이러한 상태와 전환은 컴퓨터의 알고리즘을 기술하는 잘 알려진 방법이며, 자연도 그렇게 축약될 수 있고, 수학의 계산체계는 완전히 같다. 그것은 튜링 머신을 계승한다. 그러나 이러한 체계는 무한한 상태에서 또다른 무한한 상태의 전환이 랜덤인 상태에서는 큰 의미를 지니지는 않는다. 체계가 없어 보이기 때문이다.

 

상태X of 무한 -> (랜덤 전이) ->상태Y of 무한

 

2. 1의 상태에서, 자연이 가질 수 있는 모습에 조금더 질서를 부여하면, 상태에서 상태의 전환에 어떤 규칙(Rule)이 존재한다는 사실이다. 특정 상태에서는 특정 전환규칙에 의해 정해진 상태로 변화한다. 이것은 전후 관계가 존재하는 것을 의미하며, 어떤 상태는 기존의 상태에 의존됨을 말한다.

 

상태X of 무한 -> (상태X에 의존되는 규칙) ->상태Y of 무한

 

3. 2번은 무한의 상태와 무한의 전환으로 당연히 나타내어질 수 있겠지만, 대칭체계 하에서 특정 상태 그룹과 유사한 속성의 전환을 그룹핑하여 현재의 수체계를 도출할 수 있다. 그것은 강조하듯이 무한의 상태와 전환을 약식으로 축약한 것이다. 그럼으로 인하여 매우 단순하게 상태와 변환의 관계를 추적하며 역으로도 나타낼 수 있다. 그리고 기본적으로 대칭을 만족하므로 보존의 속성을 지니는 형태로 기술하게 된다. 그리고 이 체계는 다른 모든 것들과 매핑하여 설명할 수 있다. 수 체계로 자연을 설명하듯 말이다.

 

대칭 구조에 의한 상태 정의(숫자)와 최소 대칭 상태 전이를 확장한 전이 유형화(연산)

 

4. 결국 수 체계란 본래 고유상태와 고유변화를 유형화 한 것이다. 그리고 그 "유형화"때문에 다양한 숫자의 성질이 나타난다. 그리고 그 대칭성 때문에 상태와 변화는 계속 확대된다. 역으로 연산하기 위해서 그리고 새로운 상태를 기존의 상태/변화와 모순없이 기술하기 위해서(역시 역연산하고 특정 상태를 기술하기 위해) 상태와 변환이 새로 정의되게 된다. 이것이 바로 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 생기고 특이한 나눗셈이 생기는 이유며, 자연수에서 음수나 실수, 허수, 초월수 등이 나타나게 되는 이유이다.

 

5. 현대의 수학은 이러한 형식 체계에 대한 이해 속에서 추가로 발전할 수 있다고 생각한다. 그리고 이러한 대칭 체계하에서 기술되는 자연은, 그것이 어떤 대응 관계를 가지는지에 대해서도 연구될 수 있다고 생각한다. 물론 수학과 자연이 완벽히 대응되지 않을 수 있지만, 대응된다고 가정했을때는 여러가지 탐구해볼 수 있는 주제들이 있다고 믿는다.

 

6. 그 심도있는 주제들은 대칭과 보존, 무한과 랜덤이다. 수학의 체계로 자연을 기술하다보니 이러한 난해한 주제들이 실제로 자연에서 어떻게 처리되는지 살펴봐야할 일이 생기고 있다. 그리고 그래서 수학 체계 내에서 이런 것들이 어떤 의의를 지니는 지를 더 이해해야만 자연과의 그것들의 관계와 현실에 대해서 더 이해할 수 있게 되는 것이다.

 

여기까지 지금까지 적은 내용들의 대략적인 줄거리가 되겠다.