프랙탈에 일어나는, 확대시에도 나타나는 자기 닮음성의 이유는?

 프랙탈의 세상에는 확대해도 비슷한 화면이 펼쳐진다. 전체적으로 어떤 경향을 따르는데, 숫자의 스케일이 중요하지 않는 경우이다. 그런데 왜 이 작은 영역들을 확대해도 같은 일이 벌어질까?

 

 프랙탈은 예외없이 순열을 통해 창조된다. 어떤 값을 상당히 많이 반복해서 계산하는 형태이다. 그리고 이러한 반복의 계산속에서는, 매우 작은 값들도 이런 반복을 통해서 곧 원래의 평범한 숫자들처럼 영향력을 발휘할 수 있게 된다. 반대로 엄청나게 큰 값들도 다시 매우 작은 영향밖에 끼칠 수 없게 된다. 수많은 반복 속에서, 큰 값이든 작은 값이든 서로 뒤섞여서 영향을 끼치는 것이 바로 이러한 반복된 계산의 특성이다.

 

 마치 무한소가 무한을 만나, 평범한 유한한 값이 되는 것과 비슷하다. 무한대는 무한소를 만나서 평범한 유한한 값이 된다. 이러한 것이 혼재되는 곳은 당연히 무한대와 무한소가 동등한 역할을 반복하게 될 테고, 그것이 프랙탈의 단순화된 설명이다. 즉, 프랙탈의 세계에서는 scale이 의미가 없다. 어디에서나 유사한 모습을 보여줘야 하고, 그것은 확대든 축소든 자기 닮음성을 보여준다. scaless 공간이 되는 것이다. 물론 무한에 가까운 반복 속에서 발산을 할 수도 있겠다. 그러나 반복되는 패턴을 보이는 영역에서는 여지없이 저러한 특성을 나타낸다. 모든 것이 반복이라는 계산 속에서 생기는 현상이다.

 

 아래가 두가지의 대표적인 프랙탈 그림인데, 모두 순열에서 특정 수가 끼치는 영향에 대한 내용이다.

 

https://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/logdiffeqn.html , 로지스틱 함수의 r값별 주기 패턴

 

[Pn+1 = r Pn (1-Pn) 의 반복에 의한 주기를 나타내는 프랙탈 현상]

 

 

망델브로 집합(Mandelbrot set)

[Zn+1 = Zn ^2 + c 에서 Zn+1이 발산하지 않는 c의 복소수 해의 집합]

 

 즉, 이런 일이 가능한 이유는 엄청난 수의 반복에 기인한다는 뜻이다. 이렇게 극단적인 반복은 모든 작은 값들의 영향력을 폭증시키기도 하고, 모든 큰 값의 영향력을 줄이기도 해서, 결국 또다른 작은 우주를 만들어 낸다. 그 구조가 바로 프랙탈이다.